Soit \(u\) la suite définie par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et, \(\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin(u_n)\).
1
Montrer que la suite \(u\) est strictement positive, décroissante de limite nulle.
2
On admet que si \(u\) est une suite de limite nulle, alors, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\sin(u_n)=u_n-\frac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)\).
Déterminer un réel \(\alpha\) tel que la suite \(v_n=u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha\) ait une limite réelle non nulle. En appliquant le lemme de Césaro à la suite \((v_n)\), en déduire un équivalent simple de \(u_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).