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Montrer que la suite $u$ est strictement positive, décroissante de limite nulle.

On admet que si $u$ est une suite de limite nulle, alors, quand $n$ tend vers $+\infty$, $\sin(u_n)=u_n-\frac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)$.

Déterminer un réel $\alpha$ tel que la suite $v_n=u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ ait une limite réelle non nulle. En appliquant le lemme de Césaro à la suite $(v_n)$, en déduire un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.