Soit \(\varepsilon>0\).

Les suites \(u\) et \(v\) sont équivalentes et la suite \(v\) est strictement positive. Donc, il existe un rang \(n_0\) tel que, pour \(n\geq n_0\), \(|u_n-v_n|<\frac{\varepsilon}{2}v_n\). Soit \(n>n_0\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|&=\frac{|U_n-V_n|}{V_n}\leq\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n}|u_k-v_k|\\ &\leq \frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=n_0+1}^{n}v_k)\\ &\leq\frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}V_n)=\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*}\]

Maintenant, l’expression \(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|\) est constante quand \(n\) varie, et d’autre part, \(V_n\) tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). On en déduit que \(\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Par suite, il existe un rang \(n_1>n_0\) tel que, pour \(n\geq n_1\), \(\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|<\frac{\varepsilon}{2}\).

Pour \(n\geq n_1\), on a alors \(\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\).

On a montré que

\[\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_1\Rightarrow\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\varepsilon.\]

Ainsi, la suite \(\frac{U_n}{V_n}\) tend vers \(1\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et donc \(U_n\sim V_n\).

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