Soit $\varepsilon>0$ .

Les suites $u$ et $v$ sont équivalentes et la suite $v$ est strictement positive. Donc, il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$ , $|u_n-v_n|<\frac{\varepsilon}{2}v_n$ . Soit $n>n_0$ .

$\begin{align*}\ensuremath \left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|&=\frac{|U_n-V_n|}{V_n}\leq\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n}|u_k-v_k|\\ &\leq \frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=n_0+1}^{n}v_k)\\ &\leq\frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}V_n)=\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*}$

Maintenant, l’expression $\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|$ est constante quand $n$ varie, et d’autre part, $V_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . On en déduit que $\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Par suite, il existe un rang $n_1>n_0$ tel que, pour $n\geq n_1$ , $\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|<\frac{\varepsilon}{2}$ .

Pour $n\geq n_1$ , on a alors $\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

On a montré que

$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_1\Rightarrow\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\varepsilon.$

Ainsi, la suite $\frac{U_n}{V_n}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et donc $U_n\sim V_n$ .

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