On contrôle des pièces prélevées indépendamment dans une production de grande taille. Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité inconnue \(p\in]0;1[\). On code \(X_i=1\) si la \(i\)-ème pièce est défectueuse et \(X_i=0\) sinon : les \(X_i\) sont indépendantes, de loi de Bernoulli \(\mathcal B(p)\).
Sur \(n=200\) pièces, \(24\) sont défectueuses. Exprimer la vraisemblance \(L(p)\) de cette observation, puis déterminer la valeur de \(p\) qui la maximise.
Pour un \(n\)-échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\), on note \(K=\sum_{i=1}^nX_i\) le nombre de pièces défectueuses. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de \(p\) est la fréquence \(F=\frac Kn\), lorsque l’observation \(k\) vérifie \(0<k<n\). Que se passe-t-il si \(k=0\) ou \(k=n\) ?
Calculer l’espérance et la variance de \(F\). Cet estimateur est-il sans biais ? convergent ?
Pour \(n\) grand, quelle loi approchée peut-on utiliser pour \(F\) ? Donner, pour les données de la première question, une estimation de l’écart-type de \(F\).