La fonction nulle est solution. Dorénavant, \(f\) est une éventuelle solution non nulle. Il existe donc \(x_0\in\Rr\) tel que \(f(x_0)\neq0\).

L’égalité \(f(x_0)f(0)=\int_{x_0-0}^{x_0+0}f(t)\;dt=0\) fournit \(f(0)=0\).

Pour tout réel \(y\), \(\int_{-y}^{y}f(t)\;dt=f(0)f(y)=0\). Maintenant, la fonction \(f\) est continue sur \(\Rr\) et donc la fonction \(y\mapsto \int_{-y}^{y}f(t)\;dt\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\). En dérivant, on obtient pour tout réel \(y\), \(f(y)+f(-y)=0\) et donc \(f\) est impaire.

Pour tout réel \(y\), on a alors \(f(y)= \frac{1}{f(x_0)}\int_{x_0-y}^{x_0+y}f(t)\;dt\). Puisque \(f\) est continue sur \(\Rr\), la fonction \(x\mapsto \frac{1}{f(x_0)}\int_{x_0-y}^{x_0+y}f(t)\;dt\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) et il en est de même de \(f\). Mais alors la fonction \(x\mapsto \frac{1}{f(x_0)}\int_{x_0-y}^{x_0+y}f(t)\;dt\) est de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) et il en est de même de \(f\).

\(f\) est de classe \(C^2\) sur \(\Rr\).

En dérivant à \(y\) fixé ou \(x\) fixé l’égalité \(f(x)f(y) =\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt\), on obtient pour tout \((x,y)\in\Rr^2\), \(f'(x)f(y)=f(x+y)-f(x-y)\) et \(f(x)f'(y)=f(x+y)+f(x-y)\). En dérivant la première égalité à \(y\) fixé et la deuxième à \(x\) fixé, on obtient pour tout \((x,y)\in\Rr^2\), \(f''(x)f(y)=f'(x+y)-f'(x-y)=f(x)f''(y)\). En particulier, pour tout réel \(x\), \(f''(x)f(x_0)-f(x)f''(x_0)=0\) ou encore \(f''(x)-kf(x)=0\) où \(f= \frac{f''(x_0)}{f(x_0}\).

\(f\) est solution d’une équation différentielle du type \(y''-ky=0\).

\(f\) est donc de l’un des types suivants : \(x\mapsto\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x)\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\) et \(\omega>0\) ou \(x\mapsto ax+b\), \((a,b)\in\Rr^2\) ou \(x\mapsto \lambda\ch(\omega x)+\mu\sh(\omega x)\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\) et \(\omega>0\) (suivant que \(k>0\), \(k=0\) ou \(k<0\)). De plus, \(f\) étant impaire, \(f\) est nécessairement de l’un des types suivants :

\(x\mapsto\lambda\sin(\omega x)\), \(\lambda\in\Rr^*\) et \(\omega>0\) ou \(x\mapsto ax\), \(a\in\Rr*\) ou \(x\mapsto \lambda\sh(\omega x)\), \(\lambda\in\Rr\) et \(\omega>0\).

Réciproquement,

- si \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=ax\), \(a\in\Rr^*\) alors \(f(x)f(y)=a^2xy\) et \(\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt= \frac{a}{2}((x+y)^2-(x-y)^2)=2axy\). Donc \(f\) est solution si

et seulement si \(a=2\). On obtient la fonction solution \(x\mapsto2x\).

- si \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\lambda\sin(\omega x)\), \(\lambda\in\Rr^*\) et \(\omega>0\), alors \(f(x)f(y)=\lambda^2\sin(\omega x)\sin(\omega y)\) et

\(\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt= \frac{\lambda}{\omega}(\cos(\omega(x-y))-\cos(\omega(x+y)))= \frac{2\lambda}{\omega}\sin(\omega x)\sin(\omega y)\). Donc \(f\) est solution si et seulement si \(\lambda= \frac{2}{\omega}\).

On obtient les fonctions solutions \(x\mapsto \frac{2}{\omega}\sin(\omega x)\), \(\omega>0\).

- si \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\lambda\sh(\omega x)\), \(\lambda\in\Rr^*\) et \(\omega>0\), alors \(f(x)f(y)=\lambda^2\sh(\omega x)\sh(\omega y)\) et

\(\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt= \frac{\lambda}{\omega}(\ch(\omega(x+y))-\ch(\omega(x-y)))= \frac{2\lambda}{\omega}\sh(\omega x)\sh(\omega y)\). Donc \(f\) est solution si et seulement si \(\lambda= \frac{2}{\omega}\).

On obtient les fonctions solutions \(x\mapsto \frac{2}{\omega}\sh(\omega x)\), \(\omega>0\).

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