L’équation différentielle $y'-e^xe^y=0$ est à variables séparées: en effet, en divisant par $e^{y}$ , on obtient $-y'e^{-y}=-e^x$ . Le terme de gauche est la dérivée de $e^{-y}$ ( $y$ est une fonction de $x$ ), celui de droite est la dérivée de $x\mapsto -e^x$ : $\frac{\dd e^{-y}}{\dd x} = \frac{\dd (-e^x)}{\dd x}$ Les dérivées étant égales, cela implique que les deux fonctions sont égales à une constante additive près: ainsi $y$ est solution sur $I$ si et seulement si elle est dérivable sur $I$ et $\exists\,c\in\R,\ \forall x\in I$ , $e^{-y}=-e^x+c$ . À $c$ fixé, cette égalité n’est possible que si $-e^x+c>0$ , c’est-à-dire si $c>0$ et $x<\ln c$ . On obtient ainsi les solutions: $y_c(x)=-\ln(c-e^x)\quad (\text{pour } x\in I_c=]-\infty;\ln c[)$ où $c$ est un paramètre réel strictement positif.

Pour que l’une des courbes intégrales passe par l’origine, il faut qu’il existe $c>0$ tel que $0\in I_c$ et $y_c(0)=0$ : autrement dit, $c>1$ et $c-1=1$ . Il s’agit donc de $y_2:x\mapsto-\ln(2-e^x)$ , la courbe intégrale cherchée est son graphe, au-dessus de l’intervalle $I_2=]-\infty;\ln 2[$ . Sa tangente en l’origine a pour pente $y_2'(0)=e^0e^{y(0)}=1$ , c’est la première bissectrice. Comme par construction $y_2'$ est à valeurs strictement positives, la fonction $y_2$ est strictement croissante.

Diagramme TikZ 1

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