L’équation différentielle \(y'-e^xe^y=0\) est à variables séparées: en effet, en divisant par \(e^{y}\), on obtient \(-y'e^{-y}=-e^x\). Le terme de gauche est la dérivée de \(e^{-y}\) (\(y\) est une fonction de \(x\)), celui de droite est la dérivée de \(x\mapsto -e^x\): \[\frac{\dd e^{-y}}{\dd x} = \frac{\dd (-e^x)}{\dd x}\] Les dérivées étant égales, cela implique que les deux fonctions sont égales à une constante additive près: ainsi \(y\) est solution sur \(I\) si et seulement si elle est dérivable sur \(I\) et \(\exists\,c\in\R,\ \forall x\in I\), \(e^{-y}=-e^x+c\). À \(c\) fixé, cette égalité n’est possible que si \(-e^x+c>0\), c’est-à-dire si \(c>0\) et \(x<\ln c\). On obtient ainsi les solutions: \[y_c(x)=-\ln(c-e^x)\quad (\text{pour } x\in I_c=]-\infty;\ln c[)\] où \(c\) est un paramètre réel strictement positif.

Pour que l’une des courbes intégrales passe par l’origine, il faut qu’il existe \(c>0\) tel que \(0\in I_c\) et \(y_c(0)=0\): autrement dit, \(c>1\) et \(c-1=1\). Il s’agit donc de \(y_2:x\mapsto-\ln(2-e^x)\), la courbe intégrale cherchée est son graphe, au-dessus de l’intervalle \(I_2=]-\infty;\ln 2[\). Sa tangente en l’origine a pour pente \(y_2'(0)=e^0e^{y(0)}=1\), c’est la première bissectrice. Comme par construction \(y_2'\) est à valeurs strictement positives, la fonction \(y_2\) est strictement croissante.

Diagramme TikZ 1

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