\(F\) contient le vecteur nul \((0,...,0)\) et donc \(F\neq\varnothing\). Soient alors \(((x_1,...,x_n),(x_1' ,...,x_n'))\in F^2\) et \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). On a

\[\lambda(x_1,...,x_n)+\mu(x_1',...,x_n')=(\lambda x_1+\mu x_1',...,\lambda x_n+\mu x_n')\]

avec \(\lambda x_1+\mu x_1'=0\). Donc, \(\lambda(x_1,...,x_n)+\mu(x_1',...,x_n')\in F\). \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\). [2ème démarche.] L’application \((x_1,...,x_n)\mapsto x_1\) est une forme linéaire sur \(\Rr^n\) et \(F\) en est lenoyau. \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\). [3ème démarche.]

\[\begin{align*} F&=\{(0,x_2,...,x_n),\;(x_2,...,x_n)\in\Rr^{n-1}\} =\{x_2(0,1,0,...,0)+...+x_n(0,...,0,1),\;(x_2,...,x_n)\in\Rr^{n-1}\}\\ &=\mbox{Vect}((0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)). \end{align*}\]

\(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\).

\(F\) ne contient pas le vecteur nul et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\). (Ici, \(n\geq2\)). L’application \((x_1,...,x_n)\mapsto x_1-x_2\) est une forme linéaire sur \(\Rr^n\) et \(F\) en est le noyau. \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\). L’application \((x_1,...,x_n)\mapsto x_1+...+x_n\) est une forme linéaire sur \(\Rr^n\) et \(F\) en est le noyau. \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\). (Ici, \(n\geq2\)). Les vecteurs \(e_1=(1,0,...,0)\) et \(e_2=(0,1,0...,0)\) sont dans \(F\) mais \(e_1+e_2= (1,1,0...0)\) n’y est pas. \(F\) n’est donc pas un sous espace vectoriel de \(E\).

Remarque. \(F\) est la réunion des sous-espaces \(\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1=0\}\) et \(\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_2=0\}\).

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