Soient \(n\) un entier naturel non nul puis \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels deux à deux distincts et \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\) \(n\) réels.

Supposons \(\lambda_1f_{a_1}+...+\lambda_nf_{a_n}=0\). Soit \(i\) un élément de \(\llbracket1,n\rrbracket\). On a \(\lambda_if_{a_i}=-\sum_{j\neq i}^{}\lambda_jf_{a_j}\) et on ne peut avoir \(\lambda_i\neq0\) car alors le membre de gauche est une fonction non dérivable en \(a_i\) tandis que le membre de droite l’est. Par suite, tous les \(\lambda_i\) sont nuls et donc la famille \((f_{a_i})_{1\leqslant i\leqslant n}\) est libre.

On a montré que toute sous-famille finie de la famille \((f_a)_{a\in\Rr}\) est libre et donc la famille \((f_a)_{a\in\Rr}\) est libre.

exo7 5569