Résolution sur $]-\infty,0[$ , $]0,1[$ et $]1,+\infty[$ . Soit $I$ l’un des trois intervalles $]-\infty,0[$ , $]0,1[$ ou $]1,+\infty[$ . Sur $I$ , l’équation $(E)$ s’écrit encore $y'+ \frac{1}{2x}y= \frac{1}{2x(1-x)}$ . Puisque les fonctions $x\mapsto \frac{1}{2x}$ et $x\mapsto \frac{1}{2x(1-x)}$ sont continues sur $I$ , les solutions de $(E)$ sur $I$ constituent un $\Rr$ -espace affine de dimension $1$ . Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ . Pour $x\in I$ , on note $\varepsilon$ le signe de $x$ sur $I$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;f'(x)+ \frac{1}{2x}f(x)= \frac{1}{2x(1-x)}\Leftrightarrow\forall x\in I,\;e^{\frac{1}{2}\ln(\varepsilon x)}f'(x)+ \frac{1}{2x}e^{\frac{1}{2}\ln(\varepsilon x)}f(x)= \frac{e^{\frac{1}{2}\ln(\varepsilon x)}}{2x(1-x)}\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(\sqrt{\varepsilon x}\;f)'(x)= \frac{\sqrt{\varepsilon x}}{2x(1-x)}\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(\sqrt{\varepsilon x}\;f)'(x)= \frac{ \varepsilon}{2\sqrt{\varepsilon x}(1-x)}. \end{align*}$

Déterminons alors les primitives de la fonction $x\mapsto \frac{ \varepsilon}{2\sqrt{\varepsilon x}(1-x)}$ sur $I$ . En posant $u=\sqrt{\varepsilon x}$ et donc $x=\varepsilon u^2$ puis $du=2\varepsilon udu$ .

$\int_{}^{} \frac{ \varepsilon}{2\sqrt{\varepsilon x}(1-x)}\;dx=\int_{}^{} \frac{\varepsilon}{2u(1-\varepsilon u^2)}2\varepsilon u\;du=\int_{}^{} \frac{1}{1-\varepsilon u^2}\;du$ .

-Résolution sur $]-\infty,0[$ .

Dans ce cas, $\varepsilon =-1$ puis $\int_{}^{} \frac{ \varepsilon}{2\sqrt{\varepsilon x}(1-x)}\;dx=\int_{}^{} \frac{1}{1+u^2}\;du=\Arctan(u)+\lambda=\Arctan(\sqrt{-x})+\lambda$ . Par suite,

$\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;]-\infty,0[&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\;\sqrt{-x}f(x)=\Arctan(\sqrt{-x})+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\;f(x)= \frac{\Arctan(\sqrt{-x})+\lambda}{\sqrt{-x}}. \end{align*}$

$\mathcal{S}_{]-\infty,0[}=\left\{x\mapsto \frac{\Arctan(\sqrt{-x})+\lambda}{\sqrt{-x}},\;\lambda\in\Rr\right\}$ .

-Résolution sur $]0,1[$ et $]1,+\infty[$ .

Dans ce cas, $\varepsilon =1$ puis $\int_{}^{} \frac{ \varepsilon}{2\sqrt{\varepsilon x}(1-x)}\;dx=\int_{}^{} \frac{1}{1-u^2}\;du=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\;\text{si}\;x>1 \\ \rule{0mm}{5mm} \Argth(\sqrt{x})\;\text{si}\;x\in]0,1[ \end{array} \right.+\lambda$ . Par suite,

-Résolution sur $]0,1[$ et $]1,+\infty[$ .

$\mathcal{S}_{]0,1[}=\left\{x\mapsto \frac{\Argth\left(\sqrt{x}\right)+\lambda}{\sqrt{x}},\;\lambda\in\Rr\right\}$ et $\mathcal{S}_{]1,+\infty[}=\left\{x\mapsto \frac{ \frac{1}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)+\lambda}{\sqrt{x}},\;\lambda\in\Rr\right\}$ .

-Résolution sur $]0,+\infty[$ et sur $\Rr$ . Si $f$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ ou sur $\Rr$ , alors $0\times f'(1)+0\times f(1)=1$ ce qui

est impossible. Donc

$\mathcal{S}_{]0,+\infty[}=\varnothing$ et $\mathcal{S}_{\Rr}=\varnothing$ .

-Résolution sur $]-\infty,1[$ . Si $f$ est une solution de $(E)$ sur $]-\infty,1[$ , alors il existe nécessairement $(\lambda_1,\lambda_2)\in\Rr^2$ tel que

$\forall x\in]-\infty,1[$ , $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\Arctan(\sqrt{-x})+\lambda}{\sqrt{-x}}\;\text{si}\;x<0\\ 1\;\text{si}\;x=0\\ \frac{\Argth\left(\sqrt{x}\right)+\lambda}{\sqrt{x}}\;\text{si}\;0<x<1 \end{array} \right.$ . Réciproquement une telle fonction est solution si et seulement

si elle est dérivable en $0$ .

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures,

$f(x)= \frac{1}{\sqrt{-x}}\left(\lambda_1+\sqrt{-x}- \frac{\left(\sqrt{-x}\right)^3}{3}+o\left((\sqrt{-x})^3\right)\right)= \frac{\lambda_1}{\sqrt{-x}}+1+ \frac{x}{3}+o(x)= \frac{\lambda_1}{\sqrt{-x}}+f(0)+ \frac{x}{3}+o(x)$ .

et quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures,

$f(x)= \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\lambda_2+\sqrt{x}+ \frac{\left(\sqrt{x}\right)^3}{3}+o\left((\sqrt{x})^3\right)\right)= \frac{\lambda_2}{\sqrt{x}}+1+ \frac{x}{3}+o(x)= \frac{\lambda_2}{\sqrt{x}}+f(0)+ \frac{x}{3}+o(x)$ .

Par suite, $f$ est dérivable à droite et à gauche en $0$ si et seulement si $\lambda_1=\lambda_2=0$ et dans ce cas, quand $x$ tend vers $0$ ,

$f(x)=f(0)+ \frac{x}{3}+o(x)$ ce qui montre que $f$ est dérivable en $0$ . En résumé, $f$ est solution de $(E)$ sur $]-\infty,1[$ si et

seulement si $\lambda_1=\lambda_2=0$ .

$\mathcal{S}_{]-\infty,1[}=\left\{ x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} \frac{\Arctan\left(\sqrt{-x}\right)}{\sqrt{-x}}\;\text{si}\;x<0\\ \rule[-2mm]{0mm}{5mm}1\;\text{si}\;x=0\\ \frac{\Argth\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\;\text{si}\;0<x<1 \end{array} \right. \right\}$ .

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