On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) est la fonction constante \(1\) et pour tout \(x\in{[0,1]}\) et \(n\in\N\), \(f_{n+1}(x) = 1 + \int_{t=0}^x f_n(t-t^2)\,d t\).
1
En étudiant \(f_{n+1}-f_n\) montrer que la suite \((f_n)\) converge uniformément sur \([0,1]\). On note \(f\) sa limite.
2
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \([0,1]\). Que valent \(f'(0)\) et \(f'(1)\) ?
3
Étudier la concavité de \(f\).
4
Montrer que pour tout \(x\in{[0,1]}\) on a \(1+x \le f(x)\le \exp(x)\).