L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI 4 questions

exo7 4132

On définit une suite de fonctions sur $[0,1]$ de la manière suivante : $f_0$ est la fonction constante $1$ et pour tout $x\in{[0,1]}$ et $n\in\N$ , $f_{n+1}(x) = 1 + \int_{t=0}^x f_n(t-t^2)\,d t$ .

En étudiant $f_{n+1}-f_n$ montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ . On note $f$ sa limite.

Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[0,1]$ . Que valent $f'(0)$ et $f'(1)$ ?

Étudier la concavité de $f$ .

Montrer que pour tout $x\in{[0,1]}$ on a $1+x \le f(x)\le \exp(x)$ .