Résolution de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\).

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(]0,+\infty[\).

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;&\mbox{sur}\;]0,+\infty[\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;|x|f'(x)+(x-1)f(x)=x^3\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;xf'(x)+(x-1)f(x)=x^3\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;f'(x)+(1-\frac{1}{x})f(x)=x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;e^{x-\ln x}f'(x)+(1-\frac{1}{x})e^{x-\ln x}f(x)=e^{x-\ln x}x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;(\frac{e^x}{x}f)'(x)=xe^x=((x-1)e^x)'\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]0,+\infty[,\;f(x)=xe^{-x}((x-1)e^x+\lambda)=x^2-x+\lambda xe^{-x} \end{align*}\]

Les solutions de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto x^2-x+\lambda xe^{-x}\), \(\lambda\in\Rr\).

Résolution de \((E)\) sur \(]-\infty,0[\).

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(]-\infty,0[\).

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;]-\infty,0[&\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\; -xf'(x)+(x-1)f(x)=x^3\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;f'(x)+(-1+\frac{1}{x})f(x)=-x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;e^{-x+\ln|x|}f'(x)+ (-1+\frac{1}{x})e^{-x+\ln|x|}f(x)=-e^{-x+\ln|x|}x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;(-xe^{-x}y)'=x^3e^{-x}\;(*) \end{align*}\]

Déterminons une primitive de la fonction \(x\mapsto-x^3e^{-x}\) de la forme \((ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x}\).

\[((ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x})'=(-(ax^3+bx^2+cx+d)+(3ax^2+2bx+c))e^{-x}=(-ax^3+(3a-b)x^2+(2b-c)x+c-d)e^{-x},\]

et

\[((ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x})'=x^3e^{-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -a=-1\\ 3a-b=0\\ 2b-c=0\\ c-d=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1\\ b=3\\ c=6=d \end{array} \right..\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath (*)&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\;xe^{-x}f(x)=(x^3+3x^2+6x+6)e^{-x}+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\; f(x)=x^2+3x+6+\frac{\lambda e^x+6}{x}. \end{align*}\]

Les solutions de \((E)\) sur \(]-\infty,0[\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto x^2+3x+6+\frac{\lambda e^x+6}{x}\), \(\lambda\in\Rr\).

On peut montrer que l’équation admet une et une seule solution sur \(\Rr\) en recollant les expressions précédentes, mais en ce début d’année, on manque encore d’outils.

exo7 5478