Résolution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;&\mbox{sur}\;]0,+\infty[\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;|x|f'(x)+(x-1)f(x)=x^3\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;xf'(x)+(x-1)f(x)=x^3\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;f'(x)+(1-\frac{1}{x})f(x)=x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;e^{x-\ln x}f'(x)+(1-\frac{1}{x})e^{x-\ln x}f(x)=e^{x-\ln x}x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\;(\frac{e^x}{x}f)'(x)=xe^x=((x-1)e^x)'\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]0,+\infty[,\;f(x)=xe^{-x}((x-1)e^x+\lambda)=x^2-x+\lambda xe^{-x} \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto x^2-x+\lambda xe^{-x}$ , $\lambda\in\Rr$ .

Résolution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $]-\infty,0[$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;]-\infty,0[&\Leftrightarrow\forall x\in]0,+\infty[,\; -xf'(x)+(x-1)f(x)=x^3\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;f'(x)+(-1+\frac{1}{x})f(x)=-x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;e^{-x+\ln|x|}f'(x)+ (-1+\frac{1}{x})e^{-x+\ln|x|}f(x)=-e^{-x+\ln|x|}x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in]-\infty,0[,\;(-xe^{-x}y)'=x^3e^{-x}\;(*) \end{align*}$

Déterminons une primitive de la fonction $x\mapsto-x^3e^{-x}$ de la forme $(ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x}$ .

$\begin{align*} ((ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x})' &= (-(ax^3+bx^2+cx+d)+(3ax^2+2bx+c))e^{-x} \\ &= (-ax^3+(3a-b)x^2+(2b-c)x+c-d)e^{-x}, \end{align*}$

et

$((ax^3+bx^2+cx+d)e^{-x})'=x^3e^{-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -a=-1\\ 3a-b=0\\ 2b-c=0\\ c-d=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1\\ b=3\\ c=6=d \end{array} \right..$

Par suite,

$\begin{align*}\ensuremath (*)&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\;xe^{-x}f(x)=(x^3+3x^2+6x+6)e^{-x}+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in]-\infty,0[,\; f(x)=x^2+3x+6+\frac{\lambda e^x+6}{x}. \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $]-\infty,0[$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto x^2+3x+6+\frac{\lambda e^x+6}{x}$ , $\lambda\in\Rr$ .

On peut montrer que l’équation admet une et une seule solution sur $\Rr$ en recollant les expressions précédentes, mais en ce début d’année, on manque encore d’outils.

exo7 5478