Reflexivité : pour tout \(X\in\mathcal{P} (E)\) on a \(X \prec X\) car \(X=X\).
Anti-symétrie : pour \(X,Y\in\mathcal{P} (E)\) tels que \(X \prec Y\) et \(Y \prec X\), alors par définition de \(\prec\) on a \[\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \text{ et } y \leqslant x.\] Comme la relation \(\le\) est une relation d’ordre alors \(x\leqslant y\) et \(y \leqslant x\) implique \(x=y\). Donc \[\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x = y,\] ce qui implique que \(X=Y\) (dans ce cas en fait \(X\) est vide ou un singleton).
Transitivité : soit \(X,Y, Z \in\mathcal{P} (E)\) tels que \(X \prec Y\) et \(Y \prec Z\). Si \(X=Y\) ou \(Y=Z\) alors il est clair que \(X \prec Z\). Supposons que \(X\neq Y\) et \(Y\neq Z\) alors \[\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \qquad \text{ et } \qquad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad y\leqslant z.\]

Donc on a \[\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant y \text{ et } y \leqslant z,\] alors par transitivité de la relation \(\le\) on obtient : \[\forall x \in X \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant z.\] Donc \(X \prec Z\).

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