Reflexivité : pour tout $X\in\mathcal{P} (E)$ on a $X \prec X$ car $X=X$ .
Anti-symétrie : pour $X,Y\in\mathcal{P} (E)$ tels que $X \prec Y$ et $Y \prec X$ , alors par définition de $\prec$ on a $\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \text{ et } y \leqslant x.$ Comme la relation $\le$ est une relation d’ordre alors $x\leqslant y$ et $y \leqslant x$ implique $x=y$ . Donc $\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x = y,$ ce qui implique que $X=Y$ (dans ce cas en fait $X$ est vide ou un singleton).
Transitivité : soit $X,Y, Z \in\mathcal{P} (E)$ tels que $X \prec Y$ et $Y \prec Z$ . Si $X=Y$ ou $Y=Z$ alors il est clair que $X \prec Z$ . Supposons que $X\neq Y$ et $Y\neq Z$ alors $\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \qquad \text{ et } \qquad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad y\leqslant z.$

Donc on a $\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant y \text{ et } y \leqslant z,$ alors par transitivité de la relation $\le$ on obtient : $\forall x \in X \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant z.$ Donc $X \prec Z$ .

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