Si \(A=B=\varnothing\) alors \(A\Delta B=\varnothing=A\cap B\). Si \(A\Delta B=A\cap B\), supposons par exemple \(A\neq\varnothing\). Soit \(x\in A\). Si \(x\in B\), \(x\in A\cap B=A\Delta B\) ce qui est absurde et si \(x\notin B\), \(x\in A\Delta B=A\cap B\) ce qui est absurde. Donc \(A=B=\varnothing\). Finalement, \(A\Delta B=A\cap B\Leftrightarrow A=B=\varnothing\). Par distributivité de \(\cap\) sur \(\cup\),

\[\begin{align*} (A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)&=((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap B)\cup(B\cap C))\cap(C\cup A)\\ &=((A\cap C)\cup B)\cap(C\cup A)\;(\mbox{car}\;B\cap B=B\;\mbox{et}\;A\cap B\subset B\;\mbox{et}\;B\cap C\subset B)\\ &=\left((A\cap C)\cap C\right)\cup\left((A\cap C)\cap A\right)\cup\left(B\cap C\right)\cup\left(B\cap A\right)\\ &=(A\cap C)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\cup(B\cap A)\\ &=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A) \end{align*}\] \(A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(B\setminus A)\cup(A\setminus B)=B\Delta A\). \[\begin{align*} x\in(A\Delta B)\Delta C&\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans}\;A\Delta B\;\mbox{ou dans}\;C\;\mbox{mais pas dans les deux}\\ &\Leftrightarrow((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in B\;\mbox{et}\;x\notin A\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in C\;\mbox{et}\;x\notin A\Delta B)\\ &\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans une et une seule des trois parties ou dans les trois}. \end{align*}\] Par symétrie des rôles de \(A\), \(B\) et \(C\), \(A\Delta(B\Delta C)\) est également l’ensemble des éléments qui sont dans une et une seule des trois parties \(A\), \(B\) ou \(C\) ou dans les trois. Donc \((A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)\). Ces deux ensembles peuvent donc se noter une bonne fois pour toutes \(A\Delta B\Delta C\). \(A=B\Rightarrow A\setminus B=\varnothing\) et \(B\setminus A=\varnothing\Rightarrow A\Delta B =\varnothing\).

\(A\neq B\Rightarrow\exists x\in E/\;((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B)\;\mbox{ou}\;(x\notin A\;\mbox{et}\; x\in B))\Rightarrow\exists x\in E/\;x\in(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=A\Delta B\Rightarrow A\Delta B\neq\varnothing\).

Immédiat. [\(\Rightarrow\)] Soit \(x\) un élément de \(A\).

Si \(x\notin C\) alors \(x\in A\Delta C=B\Delta C\) et donc \(x\in B\) car \(x\notin C\).

Si \(x\in C\) alors \(x\notin A\Delta C=B\Delta C\). Puis \(x\notin B\Delta C\) et \(x\in C\) et donc \(x\in B\). Dans tous les cas, \(x\) est dans \(B\). Tout élément de \(A\) est dans \(B\) et donc \(A\subset B\). En échangeant les rôles de \(A\) et \(B\), on a aussi \(B\subset A\) et finalement \(A=B\).

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