Si $A=B=\varnothing$ alors $A\Delta B=\varnothing=A\cap B$ . Si $A\Delta B=A\cap B$ , supposons par exemple $A\neq\varnothing$ . Soit $x\in A$ . Si $x\in B$ , $x\in A\cap B=A\Delta B$ ce qui est absurde et si $x\notin B$ , $x\in A\Delta B=A\cap B$ ce qui est absurde. Donc $A=B=\varnothing$ . Finalement, $A\Delta B=A\cap B\Leftrightarrow A=B=\varnothing$ . Par distributivité de $\cap$ sur $\cup$ ,

$\begin{align*} (A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)&=((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap B)\cup(B\cap C))\cap(C\cup A)\\ &=((A\cap C)\cup B)\cap(C\cup A)\;(\mbox{car}\;B\cap B=B\;\mbox{et}\;A\cap B\subset B\;\mbox{et}\;B\cap C\subset B)\\ &=\left((A\cap C)\cap C\right)\cup\left((A\cap C)\cap A\right)\cup\left(B\cap C\right)\cup\left(B\cap A\right)\\ &=(A\cap C)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\cup(B\cap A)\\ &=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A) \end{align*}$ $A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(B\setminus A)\cup(A\setminus B)=B\Delta A$ . $\begin{align*} x\in(A\Delta B)\Delta C&\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans}\;A\Delta B\;\mbox{ou dans}\;C\;\mbox{mais pas dans les deux}\\ &\Leftrightarrow((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in B\;\mbox{et}\;x\notin A\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in C\;\mbox{et}\;x\notin A\Delta B)\\ &\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans une et une seule des trois parties ou dans les trois}. \end{align*}$ Par symétrie des rôles de $A$ , $B$ et $C$ , $A\Delta(B\Delta C)$ est également l’ensemble des éléments qui sont dans une et une seule des trois parties $A$ , $B$ ou $C$ ou dans les trois. Donc $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)$ . Ces deux ensembles peuvent donc se noter une bonne fois pour toutes $A\Delta B\Delta C$ . $A=B\Rightarrow A\setminus B=\varnothing$ et $B\setminus A=\varnothing\Rightarrow A\Delta B =\varnothing$ .

$A\neq B\Rightarrow\exists x\in E/\;((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B)\;\mbox{ou}\;(x\notin A\;\mbox{et}\; x\in B))\Rightarrow\exists x\in E/\;x\in(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=A\Delta B\Rightarrow A\Delta B\neq\varnothing$ .

$\Leftarrow$ Immédiat.
$\Rightarrow$ Soit $x$ un élément de $A$ .

Si $x\notin C$ alors $x\in A\Delta C=B\Delta C$ et donc $x\in B$ car $x\notin C$ .

Si $x\in C$ alors $x\notin A\Delta C=B\Delta C$ . Puis $x\notin B\Delta C$ et $x\in C$ et donc $x\in B$ . Dans tous les cas, $x$ est dans $B$ . Tout élément de $A$ est dans $B$ et donc $A\subset B$ . En échangeant les rôles de $A$ et $B$ , on a aussi $B\subset A$ et finalement $A=B$ .

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