Soit \(Z\) une variable aléatoire admettant une fonction de répartition \(F_Z\) définie par : \[F_Z(x)=\begin{cases} \frac{1}{(2-x)^2} & \text{si } x<0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } 0 \leq x<1 \\ 1-\frac{1}{3x} & \text{si } x \geq 1 \\ \end{cases}\]
Graphique : https://www.geogebra.org/m/vat8nub8
Vérifier que \(F_Z\) définit bien une fonction de répartition.
Calculer \(\PP(Z=0)\) et \(\PP(Z=1)\). Peut-on dire que \(Z\) est une variable aléatoire absolument continue ?
On considère \(Y \colon \Omega \rightarrow \{0;1\}\) une variable aléatoire discrète dont la loi est définie par \(\PP(Y = k) = \alpha \PP(Z=k)\) pour tout \(k \in \{0;1\}\) où \(\alpha\) est un paramètre réel à déterminer.
Montrer que nécessairement, \(\alpha = \frac{12}{5}\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_Y\) de la variable aléatoire \(Y\).
On pose \(F(x)=F_Z(x)-\frac{5}{12}F_Y(x)\) pour tout \(x \in \R\). Tracer le graphe de la fonction \(F\).
Démontrer qu’en multipliant \(F\) par une constante, on obtient la fonction de répartition d’une variable aléatoire que l’on notera \(X\).
Déterminer une densité de probabilité de la variable \(X\).