On cherche la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y\). Soit \(t\in\mathbb{R}\). Par définition : \[F_Y(t)=\mathbb{P}(Y\leq t) =\mathbb{P}(F(X)\leq t).\] Or la fonction de répartition \(F\) prend ses valeurs dans \([0;1]\). On en déduit \[\begin{align*} F_Y(t)=\begin{cases} 0 & \text{ si } t< 0 \\ 1 & \text{ si } t\geq 1 \end{cases} \end{align*}\] Soit \(t\in[0;1[\). Comme la fonction de répartition \(F\) est croissante et supposée continue sur \(\mathbb{R}\), il existe au moins un réel \(t_0\) tel que \(F(t_0)=t\). Alors on a \[\begin{align*} F_Y(t)&=\mathbb{P}(F(X)\leq t) \\ &=\mathbb{P}(F(X)\leq F(t_0)) \\ &=\mathbb{P}(X\leq t_0) \quad \text{ car $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$} \\ &=F(t_0) \\ &=t. \end{align*}\] On a ainsi obtenu \[\begin{align*} F_Y(t)=\begin{cases} 0 & \text{ si } t< 0 \\ t & \text{ si } t\in[0;1[ \\ 1 & \text{ si } t\geq 1 \end{cases} \end{align*}\] qui correspond à la fonction de répartition de la loi uniforme sur \([0;1]\). Donc \(Y\sim \mathcal{U}([0;1])\).

Simulation et fonction de répartition