Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda >0\). On définit \(Y= \lfloor X \rfloor\) la partie entière de \(X\). On pose \(Z=X-\lfloor X \rfloor\).
1
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
2
Calculer \(\PP(n \leq X < n+t)\) pour tout \(n \in \N\) et \(t \in ]0;1[\). En déduire la fonction de répartition de \(Z\).
3
Calculer l’espérance de \(Y\) et de \(Z\).