L1 Analyse Série numérique Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 1948

Pour tout entier n>0n>0, soit u(n)=(−1)n/nu(n)=(-1)^n/n . Soit σ\sigma une permutation des entiers >0>0 et soit τ\tau la permutation réciproque. On suppose de plus que

(1) pour tout entier p>0p>0 on a τ(2p−1)<τ(2p+1)\tau(2p-1)<\tau(2p+1) et τ(2p)<τ(2p+2).\tau(2p)<\tau(2p+2).

(2) Notant par p(n)p(n) le nombre d’entiers kk tels que 1≤k≤n1\leq k\leq n et σ(k)\sigma(k) est pair, alors α=lim⁡n∞p(n)/n\alpha=\lim _{n\infty}p(n)/n existe et est dans ]0,1[.]0,1[.

1

Dans le cas particulier où σ\sigma est définie par σ(3p)=2p, σ(3p+1)=4p+1, σ(3p+2)=4p+3\sigma(3p)=2p,\ \sigma(3p+1)=4p+1,\ \sigma(3p+2)=4p+3 pour tout entier p>0,p>0, calculer explicitement τ\tau, et vérifier que σ\sigma satisfait (1) et (2), en calculant p(n)p(n) pour tout nn ainsi que α.\alpha.

2

On note f(n)=∑k=1n1/k−log⁡n,f(n)=\sum_{k=1}^n1/k-\log n, et on rappelle le fait, vu en cours, que lim⁡n∞f(n)=γ\lim _{n\infty}f(n)=\gamma existe (Constante d’Euler). On revient au cas général pour σ\sigma, on considère la série de terme général vn=u(σ(n))v_n=u(\sigma(n)) et on note sn=v1+⋯+vns_n=v_1+\cdots+v_n.

3

Montrer par récurrence que sn=∑k=1p(n)12k−∑k=1n−p(n)12k−1s_n=\sum_{k=1}^{p(n)}\frac{1}{2k}-\sum_{k=1}^{n-p(n)}\frac{1}{2k-1} et que sn=12f(p(n))+12f(n−p(n))−f(2n−2p(n))+12log⁡p(n)n−p(n)−log⁡2.s_n=\frac{1}{2}f(p(n))+\frac{1}{2}f(n-p(n))-f(2n-2p(n)) +\frac{1}{2}\log\frac{p(n)}{n-p(n)}-\log 2. En déduire que ∑n=1∞vn\sum _{n=1}^{\infty}v_n converge et calculer sa somme en fonction de α.\alpha.

Exercice e2v0

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