Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit \(\sigma\) une permutation des entiers \(>0\) et soit \(\tau\) la permutation réciproque. On suppose de plus que
(1) pour tout entier \(p>0\) on a \(\tau(2p-1)<\tau(2p+1)\) et \(\tau(2p)<\tau(2p+2).\)
(2) Notant par \(p(n)\) le nombre d’entiers \(k\) tels que \(1\leq k\leq n\) et \(\sigma(k)\) est pair, alors \(\alpha=\lim _{n\infty}p(n)/n\) existe et est dans \(]0,1[.\)
Dans le cas particulier où \(\sigma\) est définie par \[\sigma(3p)=2p,\ \sigma(3p+1)=4p+1,\ \sigma(3p+2)=4p+3\] pour tout entier \(p>0,\) calculer explicitement \(\tau\), et vérifier que \(\sigma\) satisfait (1) et (2), en calculant \(p(n)\) pour tout \(n\) ainsi que \(\alpha.\)
On note \(f(n)=\sum_{k=1}^n1/k-\log n,\) et on rappelle le fait, vu en cours, que \(\lim _{n\infty}f(n)=\gamma\) existe (Constante d’Euler). On revient au cas général pour \(\sigma\), on considère la série de terme général \(v_n=u(\sigma(n))\) et on note \(s_n=v_1+\cdots+v_n\).
Montrer par récurrence que \(s_n=\sum_{k=1}^{p(n)}\frac{1}{2k}-\sum_{k=1}^{n-p(n)}\frac{1}{2k-1}\) et que \[s_n=\frac{1}{2}f(p(n))+\frac{1}{2}f(n-p(n))-f(2n-2p(n)) +\frac{1}{2}\log\frac{p(n)}{n-p(n)}-\log 2.\] En déduire que \(\sum _{n=1}^{\infty}v_n\) converge et calculer sa somme en fonction de \(\alpha.\)