OpenYourMath

Soit $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ . On suppose que tous les $a_i$ sont des entiers.

Montrer que si $p$ a une racine rationnelle $\frac{\alpha}{\beta}$ (avec $\alpha$ et $\beta$ premiers entre eux) alors $\alpha$ divise $a_0$ et $\beta$ divise $a_n$ .

On considère le nombre $\sqrt 2+\sqrt 3$ . En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel.