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En considérant la fonction $f~:~x\mapsto\sum_{k=1}^{n}(a_k+xb_k)^2$, montrer que $|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).

En déduire l’inégalité de Minkowski : $\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^2}\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}$.

(l’inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal au produit de leurs normes et l’inégalité de Minkowski est l’inégalité triangulaire).