Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., \(b_n\) des nombres réels.
1
En considérant la fonction \(f~:~x\mapsto\sum_{k=1}^{n}(a_k+xb_k)^2\), montrer que \(|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}\) (inégalité de Cauchy-Schwarz).
2
En déduire l’inégalité de Minkowski : \(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^2}\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}\).
(l’inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal au produit de leurs normes et l’inégalité de Minkowski est l’inégalité triangulaire).