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Tracer les graphes des fonctions $x \mapsto E(x)$ et $x\mapsto \{x\}$.

Montrer les relations suivantes : $E(x)+E(y) \le E(x+y)$, $E(x+n)=E(x)+n$ pour tout $n\in \Zz$, $E \left( \frac{E(nx)}{n} \right) = E(x)$ pour tout $n\in\Nn^*$.

Déterminer $\lim E(x)$ et $\lim \{x\}$ lorsque $x \rightarrow -1_+$ et $x \rightarrow -1_-$. Ces fonctions ont-elles une limites lorsque $x \rightarrow -1$ ?