Nous identifions $\Cc$ au plan affine et $z=x+iy$ à $(x,y) \in \Rr\times \Rr$ .

Remarquons que pour les deux ensembles $z=5$ n’est pas solution, donc $\left| \frac{z-3}{z-5} \right| = 1 \Leftrightarrow |z-3| = |z-5|.$ Ce qui signifie préciśement que les points d’affixe $z$ sont situés à égale distance des points $A,B$ d’affixes respectives $3 = (3,0)$ et $5=(5,0)$ . L’ensemble solution est la médiatrice du segment $[A,B]$ .

Ensuite pour $\begin{align*} \left| \frac{z-3}{z-5} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} &\Leftrightarrow |z-3|^2 = \frac{1}{2}|z-5|^2 \\ &\Leftrightarrow (z-3)\overline{(z-3)} = \frac{1}{2}(z-5)\overline{(z-5)}\\ &\Leftrightarrow z\overline{z}-(z+\overline{z})=7\\ &\Leftrightarrow |z-1|^2=8\\ &\Leftrightarrow |z-1|=2\sqrt{2}\\ \end{align*}$ L’ensemble solution est donc le cercle de centre le point d’affixe $1 = (1,0)$ et de rayon $2\sqrt{2}$ .

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