Nous identifions \(\Cc\) au plan affine et \(z=x+iy\) à \((x,y) \in \Rr\times \Rr\).

Remarquons que pour les deux ensembles \(z=5\) n’est pas solution, donc \[\left| \frac{z-3}{z-5} \right| = 1 \Leftrightarrow |z-3| = |z-5|.\] Ce qui signifie préciśement que les points d’affixe \(z\) sont situés à égale distance des points \(A,B\) d’affixes respectives \(3 = (3,0)\) et \(5=(5,0)\). L’ensemble solution est la médiatrice du segment \([A,B]\).

Ensuite pour \[\begin{align*} \left| \frac{z-3}{z-5} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} &\Leftrightarrow |z-3|^2 = \frac{1}{2}|z-5|^2 \\ &\Leftrightarrow (z-3)\overline{(z-3)} = \frac{1}{2}(z-5)\overline{(z-5)}\\ &\Leftrightarrow z\overline{z}-(z+\overline{z})=7\\ &\Leftrightarrow |z-1|^2=8\\ &\Leftrightarrow |z-1|=2\sqrt{2}\\ \end{align*}\] L’ensemble solution est donc le cercle de centre le point d’affixe \(1 = (1,0)\) et de rayon \(2\sqrt{2}\).

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