Résolution d'une équation différentielle

On suppose que $f$ s’écrit sous la forme d’une série entière $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n}$. Déterminer les coefficients $(a_n)$ pour $n$ entier et déterminer le rayon de convergence de $f$.

Donner une expression alternative de $f,$ solution de $(E)$, en résolvant directement l’équation différentielle avec la condition initiale $f(0)=1$.