Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : \[(1+x)y'-\alpha\,y=0.\]
On note \(f\) la solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale \(f(0) = 1\).
1
On suppose que \(f\) s’écrit sous la forme d’une série entière \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n}\). Déterminer les coefficients \((a_n)\) pour \(n\) entier et déterminer le rayon de convergence de \(f\).
2
Donner une expression alternative de \(f,\) solution de \((E)\), en résolvant directement l’équation différentielle avec la condition initiale \(f(0)=1\).