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Déterminer le domaine de convergence de la série $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$.

On développe $u_n(x)$ par la formule du binôme : $u_n(x) = \sum_{4^n\le k \le 2.4^n}a_kx^k$. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k\ge 1} a_kx^k$ est égal à $1$ (en convenant que les $a_k$ non définis valent zéro).