D’après la question 1, \(\frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}\). Donc pour \(x \in I = ]-1;1[\) : \[\begin{align*} S(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(1 - \frac{2}{n+2}\right)x^n \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} x^n - 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n+2} \end{align*}\] On sait que \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) pour \(x \in ]-1;1[\).

Pour \(x \neq 0\), d’après la question précédente, \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n+2} = \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2}\). Donc, pour \(x \in ]-1;1[\) et \(x \neq 0\) : \[\begin{align*} S(x) &= \frac{1}{1-x} - 2 \left( \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2} \right) \\ &= \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2}{x} \end{align*}\] Pour \(x=0\): \(S(0) = \frac{0}{0+2}x^0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+2}0^n = 0 \cdot 1 + 0 = 0\).

Vérifions si la formule est cohérente en \(x=0\) via un développement limité. Pour \(x \to 0\): \(\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+o(x^2)\) \(\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\) \(\frac{2\ln(1-x)}{x^2} = \frac{2(-x - x^2/2 - x^3/3 + o(x^3))}{x^2} = -\frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3} + o(x)\) \(\frac{2}{x}\) \(S(x) = (1+x+x^2) + (-\frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3}) + \frac{2}{x} + o(x)\) \(S(x) = 1+x+x^2 - \frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3} + \frac{2}{x} + o(x)\) \(S(x) = x - \frac{2x}{3} + x^2 + o(x) = \frac{x}{3} + x^2 + o(x)\). Le terme constant \(\frac{0}{0+2} = 0\). Le terme en \(x\) est \(\frac{1}{1+2}x = \frac{x}{3}\). Le terme en \(x^2\) est \(\frac{2}{2+2}x^2 = \frac{x^2}{2}\). Il y a une cohérence. \(S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n+2}x^n = 0 \cdot x^0 + \frac{1}{3}x^1 + \frac{2}{4}x^2 + \frac{3}{5}x^3 + \dots = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{5}x^3 + \dots\) La formule donne \(S(x) \xrightarrow{x \to 0} \frac{x}{3}\). Effectivement, \(S(0) = 0\). La formule trouvée pour \(x \neq 0\) n’est pas définie en \(x=0\). Donc, on écrit : \(S(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2}{x} & \text{si } x \in ]-1;1[ \setminus \{0\} \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases}\)

Calcul de la somme d'une série entière