D’après la question 1, $\frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$ . Donc pour $x \in I = ]-1;1[$ : $\begin{align*} S(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(1 - \frac{2}{n+2}\right)x^n \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} x^n - 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n+2} \end{align*}$ On sait que $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ pour $x \in ]-1;1[$ .

Pour $x \neq 0$ , d’après la question précédente, $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n+2} = \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2}$ . Donc, pour $x \in ]-1;1[$ et $x \neq 0$ : $\begin{align*} S(x) &= \frac{1}{1-x} - 2 \left( \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2} \right) \\ &= \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2}{x} \end{align*}$ Pour $x=0$ : $S(0) = \frac{0}{0+2}x^0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+2}0^n = 0 \cdot 1 + 0 = 0$ .

Vérifions si la formule est cohérente en $x=0$ via un développement limité. Pour $x \to 0$ : $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+o(x^2)$ $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ $\frac{2\ln(1-x)}{x^2} = \frac{2(-x - x^2/2 - x^3/3 + o(x^3))}{x^2} = -\frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3} + o(x)$ $\frac{2}{x}$ $S(x) = (1+x+x^2) + (-\frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3}) + \frac{2}{x} + o(x)$ $S(x) = 1+x+x^2 - \frac{2}{x} - 1 - \frac{2x}{3} + \frac{2}{x} + o(x)$ $S(x) = x - \frac{2x}{3} + x^2 + o(x) = \frac{x}{3} + x^2 + o(x)$ . Le terme constant $\frac{0}{0+2} = 0$ . Le terme en $x$ est $\frac{1}{1+2}x = \frac{x}{3}$ . Le terme en $x^2$ est $\frac{2}{2+2}x^2 = \frac{x^2}{2}$ . Il y a une cohérence. $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n+2}x^n = 0 \cdot x^0 + \frac{1}{3}x^1 + \frac{2}{4}x^2 + \frac{3}{5}x^3 + \dots = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{5}x^3 + \dots$ La formule donne $S(x) \xrightarrow{x \to 0} \frac{x}{3}$ . Effectivement, $S(0) = 0$ . La formule trouvée pour $x \neq 0$ n’est pas définie en $x=0$ . Donc, on écrit : $S(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x} + \frac{2\ln(1-x)}{x^2} + \frac{2}{x} & \text{si } x \in ]-1;1[ \setminus \{0\} \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases}$

Calcul de la somme d'une série entière