Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :
- \question{ $\displaystyle \sum_{n \geq 1} \left(\frac{n+1}{n}\right)^nx^{n}$ }
\reponse{On pose $u_n(x) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^nx^{n}$ et on utilise le théorème de Cauchy :
$$\begin{align*}
\left(|u_n(x)|\right)^{\frac{1}{n}} &= \left( \left(\frac{n+1}{n}\right)^n|x|^{n}\right)^{\frac{1}{n}}
&= \frac{n+1}{n} |x| \xrightarrow[n\to+\infty]{} |x| \end{align*}$$ donc le rayon de convergence est $R=1$. } - \question{ $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n^2+1}{3^{2n+1}\sqrt{n^2+n+1}} x^{2n}$ }
\reponse{On pose $u_n(x) = \frac{n^2+1}{3^{2n+1}\sqrt{n^2+n+1}} x^{2n}$ et on utilise le théorème de d'Alembert :
$$\begin{align*}
\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \frac{ ((n+1)^2+1) \times 3^{2n+1}\sqrt{n^2+n+1} }{(n^2+1)3^{2n+3}\sqrt{(n+1)^2+n+1+1}}\frac{|x^{2n+2}|}{|x^{2n}|}
& \sim \frac{1}{9} \frac{n^3}{n^3} |x|^2
&\xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1}{9} |x|^2 \end{align*}$$ Or $ \frac{1}{9}|x|^2 <1 \iff |x| < 3$ donc le rayon de convergence est \fbox{$R=3$}. }
1
\(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \left(\frac{n+1}{n}\right)^nx^{n}\)
2
\(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n^2+1}{3^{2n+1}\sqrt{n^2+n+1}} x^{2n}\)