1
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles \(\displaystyle S_1(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} k x^k\). On précisera son domaine de convergence.
2
Déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles \(\displaystyle S_2(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)^2x^k\). On précisera son domaine de convergence.
3
Après avoir décomposé la fraction rationnelle \(\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}\) en éléments simples, déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles \(\displaystyle S_3(x)=\sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+2)}\). On précisera son rayon de convergence.