Calcul d'une somme de série entière

En utilisant le résultat de la somme de la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$, déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\displaystyle S_1(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} k x^k$. On précisera son domaine de convergence.

Déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\displaystyle S_2(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)^2x^k$. On précisera son domaine de convergence.

Après avoir décomposé la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}$ en éléments simples, déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\displaystyle S_3(x)=\sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+2)}$. On précisera son rayon de convergence.