1
Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que \(f\) est injective sur \(\mathring D(0,1)\).
2
Soit \(f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty} a_nz^n\) la somme d’une série entière de rayon de convergence au moins \(1\) à coefficients réels. On suppose \(f\) injective sur \(\mathring D(0,1)\) et on veut prouver : \(\forall\ n\ge 1, |a_n|\le n\).
3
Montrer pour \(|z|<1\) que \(f(z)\in\R\Leftrightarrow z\in\R\) et en déduire : \(\Im(z)\ge 0 \Rightarrow \Im(f(z))\ge 0\).
4
Pour \(0<r<1\) calculer \(\int_{t=0}^{\pi }\Im(f(re^{it}))\sin nt\,d t\). En déduire \(|a_n|r^n\le n|a_1|r\) et conclure.