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Développer en série entière $f$ : $z \mapsto z(1-z)^{-2}$. Montrer que $f$ est injective sur $\mathring D(0,1)$.

Soit $f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty} a_nz^n$ la somme d’une série entière de rayon de convergence au moins $1$ à coefficients réels. On suppose $f$ injective sur $\mathring D(0,1)$ et on veut prouver : $\forall\ n\ge 1, |a_n|\le n$.

Montrer pour $|z|<1$ que $f(z)\in\R\Leftrightarrow z\in\R$ et en déduire : $\Im(z)\ge 0 \Rightarrow \Im(f(z))\ge 0$.

Pour $0<r<1$ calculer $\int_{t=0}^{\pi }\Im(f(re^{it}))\sin nt\,d t$. En déduire $|a_n|r^n\le n|a_1|r$ et conclure.