Le rayon de la série considérée est égal \(1\). Soit \(x\in]-1,1[\).

\(f(x) =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)x^n =\frac{1}{2}\left(-1 +\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{2n-1}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}\right)\).

Si \(x\) est dans \(]0,1[\),

\[\begin{align*}\ensuremath f(x)&=\frac{1}{2}\left(-1 +\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{2n+1}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(-1+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2n+1}}{2n+1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(-1+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\ln\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)\right). \end{align*}\]

Si \(x\) est dans \(]-1,0[\),

\[\begin{align*}\ensuremath f(x)&=\frac{1}{2}\left(-1 +\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{2n+1}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(-1-\left(\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{-x}}\right)\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{\left(\sqrt{-x}\right)^{2n+1}}{2n+1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(-1-\left(\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{-x}}\right)\Arctan(\sqrt{-x})\right). \end{align*}\]

\(f(0)=-1\).

Maintenant, la somme est en fait définie sur \([-1,1]\) car les séries numériques de termes généraux \(\frac{1}{4n^2-1}\) et \(\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\) convergent. Vérifions que la somme est continue sur \([-1,1]\).

Pour \(x\) dans \([-1,1]\) et \(n\in\Nn^*\), \(\left|\frac{x^n}{4n^2-1}\right|\leqslant\frac{1}{4n^2-1}\) qui est le terme général d’une série numérique convergente. La série entière considérée converge donc normalement sur \([-1,1]\). On en déduit que cette somme est continue sur \([-1,1]\). Donc

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4n^2-1}&=f(1)=\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow1\\ x<1}}f(x) =\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow1\\ x<1}}\frac{1}{2}\left(-1+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{-x}} \right)\ln\left(1+\sqrt{x}\right) +\frac{1}{\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})\ln(1-\sqrt{x})\right)\\ &=-\frac{1}{2} \end{align*}\]

Remarque. \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4n^2-1}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\right)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{2}\left(-1-\frac{1}{2n+1}\right)\right)=-\frac{1}{2}\) (série télescopique).

On a aussi

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}&=f(-1)=\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow-1\\ x>-1}}f(x) =\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow-1\\ x>-1}}\frac{1}{2}\left(-1-\left(\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{-x}} \right)\Arctan(\sqrt{-x})\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(-1-2\Arctan1\right)=-\frac{\pi+2}{4}. \end{align*}\]

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