Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre \(0\) et rayon \(1\).
1
Soit \(\varphi(z) = \sum_{n\in\N}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R\ge 1\) et \(r\in{]0,1[}\). Montrer que \[a_n = \frac1{2\pi r^n} \int_{\theta=0}^{2\pi}\varphi(re^{i\theta})e^{-in\theta}\, d\theta.\]
2
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\overline D\) dans \(\C\) continues et dont la restriction à \(D\) est somme d’une série entière. Montrer que \(f \mapsto\|f\| = \sup\{|f(z)|,\ z\in\overline D\}\) définit une norme sur \(E\) et que pour cette norme \(E\) est complet.
3
Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dans \(E\).