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Soit $\varphi(z) = \sum_{n\in\N}a_nz^n$ une série entière de rayon $R\ge 1$ et $r\in{]0,1[}$. Montrer que $$a_n = \frac1{2\pi r^n} \int_{\theta=0}^{2\pi}\varphi(re^{i\theta})e^{-in\theta}\, d\theta.$$

Soit $E$ l’ensemble des fonctions de $\overline D$ dans $\C$ continues et dont la restriction à $D$ est somme d’une série entière. Montrer que $f \mapsto\|f\| = \sup\{|f(z)|,\ z\in\overline D\}$ définit une norme sur $E$ et que pour cette norme $E$ est complet.

Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dans $E$.