On a déjà vu que $W_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$ et la règle de d’Alembert fournit $R = 1$ . Soit $x\in]-1,1[$ .

Pour tout $t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ et tout entier naturel $n$ , $\left|x^n\cos^nt\right|\leqslant|x|^n$ . Comme la série numérique de terme général $|x|^n$ , $n\in\Nn$ , converge, la série de fonctions de terme général $t\mapsto x^ncos^nt$ est normalement et donc uniformément convergente sur le segment $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . D’après le théorème d’intégration terme à terme sur un segment,

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}W_nx^n&=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt =\int_{0}^{\pi/2}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\cos^nt\right)dt =\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1-x\cos t}\;dt\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x\frac{1-u^2}{1+u^2}}\frac{2du}{1+u^2}\;(\text{en posant}\;u=\tan\left(\frac{t}{2}\right))\\ &=2\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)u^2+(1-x)}\;du=2\times\frac{1}{1+x}\times\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\left[\Arctan\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\right)\right]_0^1\\ &= \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\Arctan\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}. \end{align*}$

$\forall x\in]-1,1[$ , $\sum_{n=0}^{+\infty}W_nx^n=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\Arctan\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ .

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