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On considère la série entière $\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}$ .

Calculer son rayon de convergence $R$ . Si $|x|=R$ , cette série converge-t-elle ?

Décomposer la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{1}{n^2+3n+2}$ en éléments simples, c’est-à-dire trouver les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\frac{1}{n^2+3n+2}=\frac{\alpha}{n+1}+\frac{\beta}{n+2}$ .