On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).
1
Calculer son rayon de convergence \(R\). Si \(|x|=R\), cette série converge-t-elle ?
2
Décomposer la fraction rationnelle \(\displaystyle \frac{1}{n^2+3n+2}\) en éléments simples, c’est-à-dire trouver les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\frac{1}{n^2+3n+2}=\frac{\alpha}{n+1}+\frac{\beta}{n+2}\).
3
Calculer la somme de la série pour \(|x|<R\).