On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), \[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n.\]
En dérivant cette égalité, montrer que \[\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n.\]
En déduire le développement en série entière de \(\dfrac{x}{(1-x)^2}\). On donnera explicitement le coefficient de \(x^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En utilisant l’égalité \(\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{1-(x^2)}\), déterminer le développement en série entière de \(\dfrac{1}{1-x^2}\). On précisera le coefficient de \(x^n\) selon la parité de \(n\).
Déterminer de même le développement en série entière de \(\dfrac{x}{1-x^2}\). On précisera le coefficient de \(x^n\) selon la parité de \(n\).
En déduire le développement en série entière de \(\dfrac{1+x}{1-x^2}\). Que remarque-t-on ?
Pour chacune des fonctions précédentes, préciser le rayon de convergence du développement obtenu.