Identification des coefficients d'une série entière

En dérivant cette égalité, montrer que $$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n.$$

En déduire le développement en série entière de $\dfrac{x}{(1-x)^2}$. On donnera explicitement le coefficient de $x^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

En utilisant l’égalité $\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{1-(x^2)}$, déterminer le développement en série entière de $\dfrac{1}{1-x^2}$. On précisera le coefficient de $x^n$ selon la parité de $n$.

Déterminer de même le développement en série entière de $\dfrac{x}{1-x^2}$. On précisera le coefficient de $x^n$ selon la parité de $n$.

En déduire le développement en série entière de $\dfrac{1+x}{1-x^2}$. Que remarque-t-on ?

Pour chacune des fonctions précédentes, préciser le rayon de convergence du développement obtenu.