Posons $\text{Sp}_\Cc A=\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\right)$ . On sait que pour tout entier naturel $n$ , $\text{Tr}(A^n) =\lambda_1^n+...+\lambda_p^n$ .

Soit $\lambda$ un nombre complexe.

Si $\lambda= 0$ , la série entière associée à la suite $(\lambda^n)_{n\in\Nn}$ est de rayon infini et pour tout nombre complexe $z$ , $\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nz^n=1=\frac{1}{1-\lambda z}$ .

Si $\lambda\neq0$ , la série entière associée à la suite $(\lambda^n)$ est de rayon $\frac{1}{|\lambda|}$ et pour $|z| <\frac{1}{|\lambda|}$ , $\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nz^n=\frac{1}{1-\lambda z}$ .

Soit $\rho=\text{Max}\left(|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_p|\right)$ ( $\rho$ est le rayon spectral de la matrice $A$ ) et $R=\frac{1}{\rho}$ si $\rho\neq0$ et $R = +\infty$ si $\rho= 0$ .

Pour $|z| < R$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\text{Tr}(A^n)z^n&=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{p}(\lambda_kz)^n\right) =\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}(\lambda_kz)^n\right)\;(\text{somme de}\;p\;\text{séries convergentes})\\ &=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{1-\lambda_kz}. \end{align*}$

Il est alors clair que $R$ est le rayon de convergence de la série entière proposée (développement en série entière d’une fraction rationnelle).

Si de plus, $0< |z| < R$ , $\sum_{n=0}^{+\infty}\text{Tr}(A^n)z^n=\frac{1}{z}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\frac{1}{z}-\lambda_k}\right)=\frac{\chi_A'\left(\frac{1}{z}\right)}{\frac{1}{z}\chi_A\left(\frac{1}{z}\right)}$ (décomposition usuelle de $\frac{P'}{P}$ ).

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