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Soit $A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1\cr1&1&0\cr1&0&0\cr\end{smallmatrix}\right)\in\mathcal{M}_{3}(\R)$ .

Montrer que $A$ est diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles dont on précisera les parties entières.

On pose $t_n = \mathrm{tr}(A^n)$ . Exprimer $t_n$ en fonction de $t_{n-1},t_{n-2},t_{n-3}$ .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^\infty t_nz^n$ et calculer sa somme.