Soit \(A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1\cr1&1&0\cr1&0&0\cr\end{smallmatrix}\right)\in\mathcal{M}_{3}(\R)\).
1
Montrer que \(A\) est diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles dont on précisera les parties entières.
2
On pose \(t_n = \mathrm{tr}(A^n)\). Exprimer \(t_n\) en fonction de \(t_{n-1},t_{n-2},t_{n-3}\).
3
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty t_nz^n\) et calculer sa somme.