Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictement positifs telles que la suite \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\Nn}\) ait une limite réelle \(k\). (En particulier \(a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(b_n)\) si \(k = 0\) et \(a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}b_n\) si \(k = 1\)).On suppose de plus que la série entière associée à la suite \((a_n)_{n\in\Nn}\) a un rayon de convergence égal à \(1\) et que la série de terme général \(a_n\) diverge.
Montrer que \(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}{\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n}= k\).
Applications.
Equivalent simple quand \(x\) tend vers \(1\) de \(\sum_{n=1}^{+\infty}\ln nx^n\).
Déterminer \(\lim_{x \rightarrow 1}(1-x)^p\sum_{n=0}^{+\infty}n^{p-1}x^n\) où \(p\) est un entier naturel non nul donné.