L2 Analyse Série entière Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 4 questions

exo7 5759

Soient (an)n∈N(a_n)_{n\in\Nn} et (bn)n∈N(b_n)_{n\in\Nn} deux suites de réels strictement positifs telles que la suite (anbn)n∈N\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\Nn} ait une limite réelle kk. (En particulier an=n→+∞o(bn)a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(b_n) si k=0k = 0 et an∼n→+∞bna_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}b_n si k=1k = 1).On suppose de plus que la série entière associée à la suite (an)n∈N(a_n)_{n\in\Nn} a un rayon de convergence égal à 11 et que la série de terme général ana_n diverge.

1

Montrer que lim⁡x→1∑n=0+∞anxn∑n=0+∞bnxn=k\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}{\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n}= k.

2

Applications.

3

Equivalent simple quand xx tend vers 11 de ∑n=1+∞ln⁡nxn\sum_{n=1}^{+\infty}\ln nx^n.

4

Déterminer lim⁡x→1(1−x)p∑n=0+∞np−1xn\lim_{x \rightarrow 1}(1-x)^p\sum_{n=0}^{+\infty}n^{p-1}x^n où pp est un entier naturel non nul donné.

Exercice 9448

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