Soient \(a = 3\) et \(b\) deux réels strictement positifs. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres \((3,b)\). Alors \(X\) admet pour densité la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in \R\) par : \[f(x)=\frac{3 b^3}{x^{4}} \mathbf{1}_{[b;+\infty[}(x).\] Soit \(n \in \N^*\) et soit \(X_1,X_2,\cdots{},X_n\) un échantillon de \(n\) variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Pareto de paramètres \((3,b)\). On définit alors les deux variables aléatoires : \[Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \quad \text{et} \quad Z_n = \min(X_1,X_2,\cdots{},X_n).\]
Le but de l’exercice est de construire un bon estimateur du paramètre \(b\) de la loi de Pareto.
Déterminer l’espérance et la variance de \(Y_n\).
En déduire un estimateur sans biais de \(b\) sous la forme \(\alpha_n Y_n\) où \(\alpha_n\) est un réel à déterminer.
Déterminer la fonction de répartition de \(Z_n\).
En déduire que \(Z_n\) suit une loi de Pareto de paramètres \((3n, b)\).
En déduire un estimateur sans biais de \(b\) sous la forme \(\beta_n Z_n\) où \(\beta_n\) est un réel à déterminer.
Lequel des deux estimateurs de \(b\) est le meilleur ? Justifier.