On observe un échantillon \(X_1, \dots, X_n\) dont la loi admet la densité \[f_\theta(x) = \exp(- (x - \theta)) \mathrm{1}_{[\theta, +\infty[}(x),\] où \(\theta\) est un paramètre réel inconnu.
Quels estimateurs de \(\theta\) pouvez-vous proposer en utilisant les méthodes usuelles ?
Déterminer la loi de \(n(\hat{\theta}_n - \theta)\), où \(\hat{\theta}_n\) est l’estimateur du maximum de vraisemblance. En déduire un intervalle de confiance pour \(\theta\) de niveau \(1 - \alpha\).
Soit \(\alpha \in ]0, 1[\). On souhaite tester au niveau \(\alpha\): \[H_0:\,\, \theta \geq 0\,\,\, \text{contre} \,\,\, H_1:\,\, \theta < 0 .\]
Construire un test à partir de l’intervalle de confiance de la question 2, calculer sa puissance et donner son allure (pour \(n\) et \(\alpha\) fixés). Quelle est sa taille \(\alpha^*\) ?
Proposer un autre test qui soit, lui, de taille \(\alpha\).
Calculer la fonction puissance du test. La représenter en fonction de \(\theta\) pour \(n\) et \(\alpha\) fixés.
Comment varie la puissance en fonction de \(\alpha\) ? en fonction de \(n\) ?
Proposer un test de niveau \(\alpha\) de \(H_0 :\) « La loi de \(X_1\) est une loi exponentielle » contre \(H_1 :\) « La loi de \(X_1\) n’est pas une loi exponentielle ». Calculer la puissance de ce test.