Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Pour étudier le degré de pollution des eaux d’une rivière par les déchets d’une usine, on mesure la teneur en milligrammes d’un certain polluant par litre d’eau. On modélise les mesures par des variables normales indépendantes de même loi, de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma>0\). Dans cet exercice, on retient une limite de \(7\ \mathrm{mg/L}\) pour la teneur moyenne en polluant.
On effectue 17 mesures pour lesquelles les valeurs observées des teneurs en polluant ont une moyenne de \(5{,}2\ \mathrm{mg/L}\) et un écart-type descriptif de \(1{,}2\ \mathrm{mg/L}\), calculé avec le diviseur 17.
L’écart-type de \(1{,}2\ \mathrm{mg/L}\) n’est pas l’estimation sans biais de la variance. En déduire l’estimation sans biais \(s^2\) de \(\sigma^2\), puis une estimation de \(\sigma\).
Donner un intervalle de confiance bilatéral de niveau \(95\%\) pour la teneur moyenne en polluant de cette rivière.
À partir de ces résultats, que peut-on conclure par rapport à la limite de \(7\ \mathrm{mg/L}\) pour la teneur moyenne ?
On suppose ici l’écart-type de la population connu et égal à \(1{,}2\ \mathrm{mg/L}\). Combien de mesures devrait-on faire pour estimer la teneur moyenne en polluant avec une marge d’erreur d’au plus \(0{,}1\ \mathrm{mg/L}\) au niveau de confiance \(95\%\) ?