On considère les équations différentielles, définies pour \(x > 0\) : \[(H) \;:\quad x\,y'(x) + (1+x)\,y(x) = 0,\] \[(E) \;:\quad x\,y'(x) + (1+x)\,y(x) = e^{-x}.\]
1
Résoudre \((H)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
2
Déterminer \(y_1\), la solution de \((H)\) qui vérifie \(y_1(1) = e^{-1}\).
3
Déterminer une solution particulière \(y_P\) de \((E)\) de la forme \(y_P(x) = K(x)\cdot y_1(x)\), où \(K\) est une fonction dérivable sur \(]0;+\infty[\).
4
En déduire la solution générale de \((E)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).