Pour $(x,y)\in\Rr^2$ , posons $f(x,y)=x^4-x^3+xy-y^2$ puis pour $(x,y,z)\in\Rr^3$ , posons $g(x,y,z)=z-f(x,y)$ . $\mathcal{S}$ est la surface d’équation $z=f(x,y)$ ou encore $g(x,y,z)=0$ .

La fonction $g$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^3$ et pour tout $(x,y,z)\in\Rr^3$ ,

$\left(\overrightarrow{\text{grad}}\;g\right)(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} - \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \rule[-4mm]{0mm}{11mm}- \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4x^3+3x^2-y\\ -x+2y\\ 1 \end{array} \right)\neq\overrightarrow{0}$ .

Donc, la surface $\mathcal{S}$ est régulière et en tout point $(x_0,y_0,z_0)$ de la surface $\mathcal{S}$ , le vecteur gradient est un vecteur normal au plan tangent $\mathcal{P}_0$ à la surface $\mathcal{S}$ en $(x_0,y_0,z_0)$ . Le plan

$\begin{align*}\ensuremath \mathcal{P}_0\;\text{parallèle à}\;\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -4x_0^3+3x_0^2-y_0=0\\ -x_0+2y_0=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_0=2y_0\\ -y_0(32y_0^2-12y_0+1)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_0=2y_0\\ -y_0(32y_0^2-12y_0+1)=0 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow y_0=0=x_0\;\text{ou}\;(y_0= \frac{1}{4}\;\text{et}\;x_0= \frac{1}{2})\;\text{ou}\;(y_0= \frac{1}{8}\;\text{et}\;x_0= \frac{1}{4}) \end{align*}$

On obtient ainsi les trois points $O(0,0,0)$ , $A\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4},0\right)$ et $B\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{256}\right)$ .

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