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Pour tout $n\geq2$, on considère la propriété : $$P(n) :\quad \mbox{$n$ points distincts du plan sont toujours alignés}$$

Initialisation : $P(2)$ est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.

Hérédité : On suppose que $P(n)$ est vraie et on va démontrer $P(n+1)$.

Soit donc $A_{1}, A_{2},\ldots,A_{n}, A_{n+1}$ des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence, $A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}$ sont alignés sur une droite $d$, et $A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}$ sont alignés sur une droite $d'$. Les deux droites $d$ et $d'$ ayant $n-1$ points communs $A_{2},\ldots, A_{n}$ sont confondues. Donc $A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}$ sont alignés, ce qui montre l’hérédité de la propriété.

Conclusion : la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 2$.