Que pensez-vous de la démonstration suivante ?
Pour tout \(n\geq2\), on considère la propriété : \[P(n) :\quad \mbox{$n$ points distincts du plan sont toujours alignés}\]
Initialisation : \(P(2)\) est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
Hérédité : On suppose que \(P(n)\) est vraie et on va démontrer \(P(n+1)\).
Soit donc \(A_{1}, A_{2},\ldots,A_{n}, A_{n+1}\) des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence, \(A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}\) sont alignés sur une droite \(d\), et \(A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}\) sont alignés sur une droite \(d'\). Les deux droites \(d\) et \(d'\) ayant \(n-1\) points communs \(A_{2},\ldots, A_{n}\) sont confondues. Donc \(A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}\) sont alignés, ce qui montre l’hérédité de la propriété.
Conclusion : la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq 2\).