Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombre \(R_{3}\) de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.
On considère quatre droites \(\Delta_{1},\ldots,\Delta_{4}\), telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Donner le nombre \(R_{4}\) de régions découpées par ces quatre droites.
On considère \(n\) droites \(\Delta_{1},\ldots,\Delta_{n}\), telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit \(R_{n}\) le nombre de régions délimitées par \(\Delta_{1}\ldots\Delta_{n}\), et \(R_{n-1}\) le nombre de régions délimitées par \(\Delta_{1}\ldots\Delta_{n-1}\). Montrer que \(R_{n}=R_{n-1}+n\).
Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par \(n\) droites en position générale, c’est-à-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.