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Dans le plan, on considère trois droites $\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}$ formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombre $R_{3}$ de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.

On considère quatre droites $\Delta_{1},\ldots,\Delta_{4}$, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Donner le nombre $R_{4}$ de régions découpées par ces quatre droites.

On considère $n$ droites $\Delta_{1},\ldots,\Delta_{n}$, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit $R_{n}$ le nombre de régions délimitées par $\Delta_{1}\ldots\Delta_{n}$, et $R_{n-1}$ le nombre de régions délimitées par $\Delta_{1}\ldots\Delta_{n-1}$. Montrer que $R_{n}=R_{n-1}+n$.

Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par $n$ droites en position générale, c’est-à-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.