Rappelons que \((a)\cdot(b)=\{\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}, n\in\Nn, a_{i}\in(a), b_{i}\in(b)\}=(ab)\). De plus \((ab)\subset(a)\cap(b)\) donc \[\begin{align*} (ab)=(a)\cap(b) &\Leftrightarrow (a)\cap(b)\subset(ab)\\ &\Leftrightarrow \forall m\in A,\ (a|m\text{ et }b|m\Rightarrow ab|m)\\ &\Leftrightarrow \mathrm{ppcm}(a,b)\sim ab\\ &\Leftrightarrow \mathrm{ppcm}(a,b)\sim \pgcd(a,b)\mathrm{ppcm}(a,b)\\ &\Leftrightarrow \pgcd(a,b)\sim 1 \end{align*}\]

Si \(A\) est principal, alors \(\exists d\in A,\ (a,b)=(d)\). Alors \(a\in(d)\) et \(b\in(d)\) donc \(d\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\). Si de plus \(d'\) est un autre diviseur commun à \(a\) et \(b\), alors \(a\in(d')\) et \(b\in(d')\) et comme \((a,b)\) est le plus petit idéal contenant \(a\) et \(b\), on en déduit que \((a,b)=(d)\subset(d')\), et donc que \(d'|d\) : finalement, \(\pgcd(a,b)=d\).

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