Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de la base canonique. Soit \(H\) le plan d’équation \(x+2y+2z=0\). Soit \(\pi\) la projection orthogonale sur \(H\) et \(s\) la symétrie orthogonale par rapport à \(H\).
1
Déterminer un vecteur \(\epsilon_1\) normal à \(H\) et unitaire.
2
Pour tout vecteur \(V\) de \(E\), écrire \(V-\pi (V)\), puis \(\pi(V)\) à l’aide de \(V\) et \(\epsilon_1\) seulement. (On pourra utiliser des produits scalaires comme coefficients).
3
Déterminer les matrices de \(\pi\) et de \(s\) dans la base canonique. Sont-elles orthogonales, symétriques ?