Soit \(f:\Rr^n\to\Rr^n\) de classe \(C^2\) telle que, pour tout \(x\in \Rr^n\), l’application \(Df(x)\) est un automorphisme orthogonal, i.e. \(Df(x)\) est linéaire bijective et conserve le produit scalaire: \[\langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle=\langle h,k\rangle \quad \text{pour tout} \;\; h,k\in \Rr^n\; .\] Montrer que l’application \(f\) est elle même un automorphisme orthogonal.
Indications:
1
Déterminer la différentielle de \(x\mapsto \langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle\).
2
Vérifier que \(A(h,k,l) = \langle Df(x)(h), D^2f(x)(k,l)\rangle\) est antisymétrique par rapport aux deux premières variables et symétrique par rapport aux deux dernières variables.
3
En déduire que \(A(h,k,l)=0\) pour tous \(h,k,l\in \Rr^n\) puis conclure.