L3 Calcul différentiel Différentielle d'ordre supérieur, formule de Taylor Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 3 questions

exo7 6289

Soit f:Rn→Rnf:\Rr^n\to\Rr^n de classe C2C^2 telle que, pour tout x∈Rnx\in \Rr^n, l’application Df(x)Df(x) est un automorphisme orthogonal, i.e. Df(x)Df(x) est linéaire bijective et conserve le produit scalaire: ⟨Df(x)(h),Df(x)(k)⟩=⟨h,k⟩pour tout    h,k∈Rn  .\langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle=\langle h,k\rangle \quad \text{pour tout} \;\; h,k\in \Rr^n\; . Montrer que l’application ff est elle même un automorphisme orthogonal.

Indications:

1

Déterminer la différentielle de x↦⟨Df(x)(h),Df(x)(k)⟩x\mapsto \langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle.

2

Vérifier que A(h,k,l)=⟨Df(x)(h),D2f(x)(k,l)⟩A(h,k,l) = \langle Df(x)(h), D^2f(x)(k,l)\rangle est antisymétrique par rapport aux deux premières variables et symétrique par rapport aux deux dernières variables.

3

En déduire que A(h,k,l)=0A(h,k,l)=0 pour tous h,k,l∈Rnh,k,l\in \Rr^n puis conclure.

Exercice jmqK

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