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Soit $h\in E$ et $\varphi _h : E\to F$ l’application définie par $\varphi_h (x) = Df(x) (h)$. Justifier que $$D^2 f(a) (k,h) = D\varphi _h(a) (k) \quad \text{pour tout} \;\; k\in E\; .$$

Supposons que, pour tous $t\in \Rr$ et $x\in E$, $f(tx) = t^2 f(x)$. Montrer que $D^2f(0) (x,x) =2f(x)$ pour tout $x\in E$.

Soit $a,h,k\in E$ et soit $\Psi : \Rr ^2 \to F$ définie par $\Psi (t,s) = f(a+th+sk)$. Calculer $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial t \partial s}(0,0)$.