Soient \(E\) et \(F\) des espaces de Banach et \(f: E\to F\) une application de classe \(C^2\).
1
Soit \(h\in E\) et \(\varphi _h : E\to F\) l’application définie par \(\varphi_h (x) = Df(x) (h)\). Justifier que \[D^2 f(a) (k,h) = D\varphi _h(a) (k) \quad \text{pour tout} \;\; k\in E\; .\]
2
Supposons que, pour tous \(t\in \Rr\) et \(x\in E\), \(f(tx) = t^2 f(x)\). Montrer que \(D^2f(0) (x,x) =2f(x)\) pour tout \(x\in E\).
3
Soit \(a,h,k\in E\) et soit \(\Psi : \Rr ^2 \to F\) définie par \(\Psi (t,s) = f(a+th+sk)\). Calculer \(\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial t \partial s}(0,0)\).