Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) une fonction croissante et majorée par \(M\in \Rr\). Notons \[F = f(\Rr) = \{ f(x) \ | \ x \in \Rr \}.\] \(F\) est un ensemble (non vide) de \(\Rr\), notons \(\ell = \sup F\). Comme \(M\in \Rr\) est un majorant de \(F\), alors \(\ell < +\infty\). Soit \(\epsilon > 0\), par les propriétés du \(\sup\) il existe \(y_0 \in F\) tel que \(\ell - \epsilon \leq y_0 \leq \ell\). Comme \(y_0\in F\), il existe \(x_0 \in \Rr\) tel que \(f(x_0) = y_0\). Comme \(f\) est croissante alors: \[\forall x\geq x_0 \qquad f(x) \geq f(x_0) = y_0 \geq \ell - \epsilon.\] De plus par la définition de \(\ell\): \[\forall x\in \Rr \ \ f(x) \leq \ell.\] Les deux propriétés précédentes s’écrivent: \[\forall x\geq x_0 \qquad \ell - \epsilon \leq f(x) \leq \ell.\] Ce qui exprime bien que la limite de \(f\) en \(+\infty\) est \(\ell\).

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