$f_3$ est définie et continue sur $\Rr$ , dérivable sur $\Rr\setminus\{-1,1\}$ . Etude en $-\infty$ . Soit $x\leq-1$ .

$f_3(x)=x+\sqrt{x^2-1}=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}.$ Or, quand $x$ tend vers $-\infty$ , $x-\sqrt{x^2-1}$ tend vers $-\infty$ et donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f_3(x)=0$ . Etude en $+\infty$ . Immédiatement, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_3(x)=+\infty$ . Ensuite, pour $x\geq1$ ,

$\frac{f_3(x)}{x}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}},$ qui tend vers $2$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Mais alors,

$f_3(x)-2x=-x+\sqrt{x^2-1}=\frac{(-x+\sqrt{x^2-1})(-x-\sqrt{x^2-1})}{-x-\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}.$ On en déduit que $\lim_{x\rightarrow +\infty}(f_3(x)-2x)=0$ et donc que la droite $(D)$ d’équation $y=2x$ est asymptote à $\mathcal{C}_3$ en $+\infty$ . Etude en $1$ . Pour $x>1$ ,

$\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=\frac{(x-1)+\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x-1}=1+\sqrt{\frac{x+1}{x-1}},$ et pour $x\in]-1,1[$ ,

$\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=\frac{(x-1)+\sqrt{(-x+1)(x+1)}}{-(-x+1)}=1-\sqrt{\frac{x+1}{-x+1}}.$ Par suite, $\lim_{x\rightarrow 1,\;x>1}\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow 1,\;x<1}\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=-\infty$ . On en déduit que $f_3$ n’est pas dérivable en $1$ , mais que $\mathcal{C}_3$ admet deux demi-tangentes parallèles à $(Oy)$ au point de $\mathcal{C}_3$ d’abscisse $1$ . Les résultats sont analogues en $-1$ . Etude des variations de $\bf{f_3}$ . Pour $x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$ , $f_3(x)=x+\sqrt{x^2-1}$ et donc

$f_3'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}.$

Si $x>1$ , on a $x+\sqrt{x^2-1}>0$ et donc, $f_3'(x)>0$ . Si $x<-1$ , on a

$\sqrt{x^2-1}<\sqrt{x^2}=|x|=-x,$ et donc, $x+\sqrt{x^2-1}<0$ puis $f_3'(x)<0$ . Ainsi, $f_3$ est strictement décroissante sur $]-\infty,-1[$ et strictement croissante sur $]1,+\infty[$ . Pour $x\in]-1,1[$ , $f_3(x)=x+\sqrt{-x^2+1}$ et donc

$f_3'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{-x^2+1}}=\frac{\sqrt{-x^2+1}-x}{\sqrt{-x^2+1}}.$ Si $x\in]-1,0]$ , on a clairement $f_3'(x)>0$ . Si x $\in[0,1[$ , par stricte croissance de la fonction $x\mapsto x^2$ sur $\Rr^+$ , on a

$\begin{align*} \mbox{sgn}(f_3'(x)) &= \mbox{sgn}(\sqrt{-x^2+1}-x) \\ &= \mbox{sgn}((-x^2+1)-x^2) \\ &= \mbox{sgn}(1-2x^2) \\ &= \mbox{sgn}((1-x\sqrt{2}) (1+x\sqrt{2})) \\ &= \mbox{sgn}[\frac{1}{\sqrt{2}}-x). \end{align*}$ Donc, $f_3'$ est strictement positive sur $\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ , strictement négative sur $\left]\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[$ et s’annule en $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . En résumé, $f_3'$ est strictement négative sur $]-\infty,-1[$ et sur $\left]\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[$ et strictement positive sur $\left]-1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ et sur $]1,+\infty[$ . $f_3$ est donc strictement croissante sur $]-\infty,-1]$ et sur $\left[\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[$ et strictement décroissante sur $\left[-1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ et sur $[1,+\infty[$ . On en déduit $\mathcal{C}_3$ .

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