\(f_3\) est définie et continue sur \(\Rr\), dérivable sur \(\Rr\setminus\{-1,1\}\). Etude en \(-\infty\). Soit \(x\leq-1\).

\[f_3(x)=x+\sqrt{x^2-1}=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}.\] Or, quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(x-\sqrt{x^2-1}\) tend vers \(-\infty\) et donc \(\lim_{x\rightarrow -\infty}f_3(x)=0\). Etude en \(+\infty\). Immédiatement, \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f_3(x)=+\infty\). Ensuite, pour \(x\geq1\),

\[\frac{f_3(x)}{x}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}},\] qui tend vers \(2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Mais alors,

\[f_3(x)-2x=-x+\sqrt{x^2-1}=\frac{(-x+\sqrt{x^2-1})(-x-\sqrt{x^2-1})}{-x-\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}.\] On en déduit que \(\lim_{x\rightarrow +\infty}(f_3(x)-2x)=0\) et donc que la droite \((D)\) d’équation \(y=2x\) est asymptote à \(\mathcal{C}_3\) en \(+\infty\). Etude en \(1\). Pour \(x>1\),

\[\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=\frac{(x-1)+\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x-1}=1+\sqrt{\frac{x+1}{x-1}},\] et pour \(x\in]-1,1[\),

\[\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=\frac{(x-1)+\sqrt{(-x+1)(x+1)}}{-(-x+1)}=1-\sqrt{\frac{x+1}{-x+1}}.\] Par suite, \(\lim_{x\rightarrow 1,\;x>1}\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=+\infty\) et \(\lim_{x\rightarrow 1,\;x<1}\frac{f_3(x)-f_3(1)}{x-1}=-\infty\). On en déduit que \(f_3\) n’est pas dérivable en \(1\), mais que \(\mathcal{C}_3\) admet deux demi-tangentes parallèles à \((Oy)\) au point de \(\mathcal{C}_3\) d’abscisse \(1\). Les résultats sont analogues en \(-1\). Etude des variations de \(\bf{f_3}\). Pour \(x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\), \(f_3(x)=x+\sqrt{x^2-1}\) et donc

\[f_3'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}.\]

Si \(x>1\), on a \(x+\sqrt{x^2-1}>0\) et donc, \(f_3'(x)>0\). Si \(x<-1\), on a

\[\sqrt{x^2-1}<\sqrt{x^2}=|x|=-x,\] et donc, \(x+\sqrt{x^2-1}<0\) puis \(f_3'(x)<0\). Ainsi, \(f_3\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,-1[\) et strictement croissante sur \(]1,+\infty[\). Pour \(x\in]-1,1[\), \(f_3(x)=x+\sqrt{-x^2+1}\) et donc

\[f_3'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{-x^2+1}}=\frac{\sqrt{-x^2+1}-x}{\sqrt{-x^2+1}}.\] Si \(x\in]-1,0]\), on a clairement \(f_3'(x)>0\). Si x\(\in[0,1[\), par stricte croissance de la fonction \(x\mapsto x^2\) sur \(\Rr^+\), on a

\[\mbox{sgn}(f_3'(x))=\mbox{sgn}(\sqrt{-x^2+1}-x)=\mbox{sgn}((-x^2+1)-x^2)=\mbox{sgn}(1-2x^2)=\mbox{sgn}((1-x\sqrt{2}) (1+x\sqrt{2}))=\mbox{sgn}[\frac{1}{\sqrt{2}}-x).\] Donc, \(f_3'\) est strictement positive sur \(\left[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right[\), strictement négative sur \(\left]\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[\) et s’annule en \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). En résumé, \(f_3'\) est strictement négative sur \(]-\infty,-1[\) et sur \(\left]\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[\) et strictement positive sur \(\left]-1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right[\) et sur \(]1,+\infty[\). \(f_3\) est donc strictement croissante sur \(]-\infty,-1]\) et sur \(\left[\frac{1}{\sqrt{2}},1\right[\) et strictement décroissante sur \(\left[-1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\) et sur \([1,+\infty[\). On en déduit \(\mathcal{C}_3\).

\[\]

exo7 5102