Pour \(x\neq 0\), posons \(g(x)=\frac{f(2x)-f(x)}{x}\). \(f\) est définie sur un voisinage de \(0\) et donc il existe \(a>0\) tel que \(]-a,a[\subset D_f\). Mais alors, \(]-\frac{a}{2},\frac{a}{2}[\setminus\{0\}\subset D_g\).

Soit \(x\in]-\frac{a}{2},\frac{a}{2}[\setminus\{0\}\) et \(n\in\Nn^*\).

\[f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}(f(\frac{x}{2^k})-f(\frac{x}{2^{k+1}}))+f(\frac{x}{2^n})=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x}{2^{k+1}}g(\frac{x}{2^{k+1}})+f(\frac{x}{2^n}).\]

Par suite, pour \(x\in]-\frac{a}{2},\frac{a}{2}[\setminus\{0\}\) et \(n\in\Nn^*\), on a :

\[\left|\frac{f(x)}{x}\right|\leq\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}}\left|g(\frac{x}{2^{k+1}})\right|+\left|\frac{f(x/2^n)}{x}\right|.\]

Soit \(\varepsilon>0\). Puisque par hypothèse, \(g\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\),

\[\exists\alpha\in]0,\frac{a}{2}[/\;\forall X\in]-\alpha,\alpha[,\;|g(X)|<\frac{\varepsilon}{2}.\]

Or, pour \(x\in]-\alpha,\alpha[\setminus\{0\}\) et pour \(k\) dans \(N*\), \(\frac{x}{2^k}\) est dans \(]-\alpha,\alpha[\setminus\{0\}\) et par suite,

\[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}}\left|g(\frac{x}{2^{k+1}})\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{\varepsilon}{2}\frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\varepsilon}{2}(1-\frac{1}{2^n})<\frac{\varepsilon}{2},\]

et donc, \(\left|\frac{f(x)}{x}\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\left|\frac{f(x/2^n)}{x}\right|\). On a ainsi montré que

\[\forall x\in]-\alpha,\alpha[\setminus\{0\},\;\forall n\in\Nn^*,\;\left|\frac{f(x)}{x}\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\left|\frac{f(x/2^n)}{x}\right|.\]

Mais, à \(x\) fixé, \(\frac{f(x/2^n)}{x}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Donc, on peut choisir \(n\) tel que \(\frac{f(x/2^n)}{x}<\frac{\varepsilon}{2}\) et on a alors \(\left|\frac{f(x)}{x}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\). On a montré que

\[\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0/\;(\forall x\in D_f,\;0<|x|<\alpha\Rightarrow\left|\frac{f(x)}{x}\right|<\varepsilon,\] ce qui montre que (\(f\) est dérivable en \(0\) et que) \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0\).

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