\((D)\) est une droite de vecteur normal \((1,3)\). Le projeté orthogonal \(p(M_0)\) de \(M_0\) sur \((D)\) est de la forme \(M_0+\lambda.\vec{n}\) où \(\lambda\) est un réel à déterminer. Le point \(M_0+\lambda.\vec{n}\) a pour coordonnées \((x_0+\lambda,y_0+3\lambda)\).

\[M_0+\lambda.\vec{n}\in(D)\Leftrightarrow(x_0+\lambda)+3(y_0+3\lambda)-5=0\Leftrightarrow\lambda=\frac{-x_0-3y_0+5}{10}.\]

\(p(M_0)\) a pour coordonnées \((x_0+\frac{-x_0-3y_0+5}{10},y_0+3\frac{-x_0-3y_0+5}{10})\) ou encore \((\frac{9x_0-3y_0+5}{10},\frac{-3x_0+y_0+15}{10})\).

Le symétrique orthogonal \(s(M_0)\) vérifie : \(s(M_0)=M_0+2\overrightarrow{M_0p(M_0)}\).

Ses coordonnées sont donc \((x_0+2(\frac{9x_0-3y_0+5}{10}-x_0),y0+2(\frac{-3x_0+y_0+15}{10}-y_0)\) ou encore

\((\frac{4x_0-3y_0+5}{5},\frac{-3x_0-4y_0+15}{5})\).

(Remarque. Si on n’avait pas déjà \(p(M_0)\) on aurait cherché le symétrique sous la forme \(M_0+\lambda.\vec{n}\), \(\lambda\) étant entièrement déterminé par la condition : le milieu du segment \([M_0,s(M_0)]\) appartient à \((D)\).)

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