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Montrer que si $\Delta_A$ est parallèle à $\Delta_B$, alors le triangle $ABC$ est plat. On supposera dans la suite de l’exercice que ce triangle n’est pas plat.

Montrer que pour tout point $P$ de $\Delta_A$, la distance de $P$ à la droite $(AB)$ est égale à la distance de $P$ à la droite $(AC)$.

En déduire que le point d’intersection de $\Delta_A$ et de $\Delta_B$, que l’on notera $\Omega$, est équidistant de $(AB)$, $(BC)$ et $(CA)$. On admettra que cela permet de démontrer que $\Omega \in \Delta_C$.

On note $A'$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur la droite $(BC)$, c’est-à-dire l’unique point $A' \in (BC)$ tel que $(\Omega A') \perp (BC)$. De même, on note $B'$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(CA)$ et $C'$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(AB)$. Montrer que $AB' = AC'$.

On admet que $A' \in [BC]$, $B' \in [CA]$, $C' \in [AB]$. Montrer que $$2 AB' + a = 2 AB' + A'B + A'C = 2 AB' + BC' + CB' = b + c.$$

On note $p = \frac{a + b + c}{2}$. Montrer que $AB' = p - a$.

On note $r = \Omega A'$. Montrer que $$r = (p - a) \tan\frac{\alpha}{2} = (p - b) \tan\frac{\beta}{2} = (p - c) \tan\frac{\gamma}{2}.$$

En utilisant les formules d’addition pour $\sin$ et $\cos$, montrer que $$\tan\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \frac{\tan\frac{\alpha}{2} + \tan\frac{\beta}{2}}{1 - \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}} \quad\text{et}\quad \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \frac{1}{\tan\frac{\gamma}{2}}.$$

Montrer que $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$. En déduire que $$\frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{\beta}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{\gamma}{2}} = \frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2} \tan\frac{\gamma}{2}}.$$

En déduire que $(p - a) (p - b) (p - c) = r^2 p$, puis que l’aire du triangle $ABC$ est $$\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}.$$